本文笔者将用具体例子讲述决策树的构建过程，分析：决策树生成过程中有什么样的问题？

一、基本概念

决策树的定义：

首先，决策树是一种有监督的分类算法——即给定X，Y值，构建X，Y的映射关系。

不同于线性回归等是多项式，决策树是一种树形的结构，一般由根节点、父节点、子节点、叶子节点构成如图所示。

父节点和子节点是相对的，子节点可以由父节点分裂而来，而子节点还能作为新的父节点继续分裂；根节点是没有父节点，即初始分裂节点，叶子节点是没有子节点的节点，为终节点。

每一个分支代表着一个判断，每个叶子节点代表一种结果。

这是在已知各种情况的发生的概率的基础上，通过构建决策树来进行分析的一种方式。

预测方式：

• 根据输入的样本X的特征属性和决策树的取值，将输入的X样本分配到某一个叶子节点中。
• 将叶子节点中出现最多的Y值，作为输入的X样本的预测类别。

目的：

最优的模型应该是：叶子节点中只包含一个类别的数据。

但是，事实是不可能将数据分的那么的纯，因此，需要“贪心”策略，力争在每次分割时都比上一次好一些，分的更纯一些。

二、决策树构建过程

步骤一：将所有的特征看成一个一个的节点，eg（拥有房产、婚姻状态、年收入这些特征，我们可以看成一个一个的节点。）

步骤二：遍历当前特征的每一种分割方式，找到最好的分割点eg（婚姻状态这个特征，我们可以按照单身、已婚、离婚进行划分；也可以按照结过婚、没有结过婚进行划分）；将数据划分为不同的子节点，eg： N1、 N2….Nm；计算划分之后所有子节点的“纯度”信息

步骤三：使用第二步遍历所有特征，选择出最优的特征，以及该特征的最优的划分方式，得出最终的子节点N1、 N2….Nm

步骤四：对子节点N1、N2….Nm分别继续执行2-3步，直到每个最终的子节点都足够“纯”。

从上述步骤可以看出，决策生成过程中有两个重要的问题：

1. 对数据进行分割。
2. 选择分裂特征。
3. 什么时候停止分裂。

1. 对数据进行分割

根据属性值的类型进行划分：

如果值为离散型，且不生成二叉决策树，则此时一个属性就是可以一个分支，比如：上图数据显示，婚姻状态为一个属性，而下面有三个值，单身、已婚、离婚，则这三个值都可以作为一个分类。

如果值为离散型，且生成二叉决策树，可以按照 “属于此子集”和“不属于此子集”分成两个分支。还是像上面的婚姻状态，这可以按照已婚，和非婚，形成两个分支。

如果值为连续性，可以确定一个值作为分裂点，按照大于分割点，小于或等于分割点生成两个分支，如上图数据，我可以按照6千元的点划分成：大于6千元和小于6千元。

2. 找到最好的分裂特征

决策树算法是一种“贪心”算法策略——只考虑在当前数据特征情况下的最好分割方式。

在某种意义上的局部最优解，也就是说我只保证在当分裂的时候，能够保证数据最纯就好。

对于整体的数据集而言：按照所有的特征属性进行划分操作，对所有划分操作的结果集的“纯度”进行比较，选择“纯度”越高的特征属性作为当前需要分割的数据集进行分割操作。

决策树使用信息增益作为选择特征的依据，公式如下：

H（D）为：分割前的纯度。

H（D｜A）为：在给定条件A下的纯度，两者之差为信息增益度。如果信息增益度越大，则H（D｜A）越小，则代表结果集的数据越纯。

计算纯度的度量方式：Gini、信息熵、错误率。

一般情况下，选择信息熵和Gini系数，这三者的值越大，表示越“不纯”。

Gini：

信息熵：

错误率：

3. 什么时候停止分裂

一般情况有两种停止条件：

1. 当每个子节点只有一种类型的时候停止构建。
2. 当前节点中记录数小于某个阈值，同时迭代次数达到给定值时，停止构建过程。此时，使用 max(p(i))作为节点的对应类型。

方式一可能会使树的节点过多，导致过拟合(Overfiting)等问题。所以，比较常用的方式是使用方式二作为停止条件。

三、举例

数据集如下：

1. 对数据特征进行分割

• 拥有房产（是、否）
• 婚姻状态（单身、已婚、离婚）
• 年收入（80、97.5）

2. 通过信息增益找到分割特征

首先，计算按照拥有房产这个特征进行划分的信息增益，使用错误率进行纯度的计算：

计算原始数据的纯度：

计算按拥有房产划分后的结果集数据纯度H（D｜A）：

H(D| X=有房产) 的计算方式：

H(D| X=无房产) 的计算方式：

计算信息增益度Gain(房产)：

同理，可以计算：婚姻状态 年收入=97.5

Gain(婚姻) = 0.205

Gain(婚姻) =0.395

按照Gain越大，分割后的纯度越高，因此第一个分割属性为收入，并按照97.5进行划分。

左子树的结果集够纯，因此不需要继续划分。

接下来，对右子树年收入大于97.5的数据，继续选择特征进行划分，且不再考虑收入这个特征，方法如上，可以得到如图：

四、常见算法

ID3：

优点：决策树构建速度快；实现简单

缺点：

• 计算依赖于特征数目较多的特征，而属性值最多的属性并不一定最优 。
• ID3算法不是递增算法，ID3算法是单变量决策树，对于特征属性之间的关系不会考虑。
• 抗噪性差。
• 只适合小规模数据集，需要将数据放到内存中。

C4.5：

在ID3算法的基础上，进行算法优化提出的一种算法(C4.5)，使用信息增益率来取代ID3中的信息增益。

CART（Classification And Regression Tree）：

五、总结

1. ID3和5算法均只适合在小规模数据集上使用。
2. ID3和5算法都是单变量决策树当属性值取值比较多的时候，最好考虑C4.5算法，ID3得出的效果会比较差  决策树分类一般情况只适合小数据量的情况(数据可以放内存)  CART算法是三种算法中最常用的一种决策树构建算法(sklearn中仅支持CART)。
3. 三种算法的区别仅仅只是对于当前树的评价标准不同而已，ID3使用信息增益、 5使用信息增益率、CART使用基尼系数。
4. CART算法构建的一定是二叉树，ID3和5构建的不一定是二叉树。

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