这段时间在看张维迎的《博弈论与社会》——一本博弈论的科普书，一边在介绍博弈论原理，一边借助博弈论来解释政治、经济和生活中的现象。在现在常见的竞价广告系统中，博弈论同样应用广泛。

在讨论之前，我们有2个前提：

1. 媒体追求利益最大化：这很容易理解，因为媒体想要充分利用自己的流量，让每次广告曝光的收益都最大化，不浪费每一个挣钱的机会。
2. 广告主追求利益最大化：广告主也是理性的，它需要从广告中获得收益，广告主的收益=广告引流产生的价值-广告成本。

第1个问题：为什么不按照固定的价格扣费？比如每一次点击按照￥10收费？

这需要媒体需要知道全量且真实的广告主的出价、成本信息，但这在现实中几乎不可能。

第2个问题：如果从媒体收益最大化的前提出发，为什么不按出价高者胜出，并且按照最高出价扣费？

我们设想这么一种场景。在搜索引擎广告场景下，如果广告主A对“SUV”这个关键词愿意出价￥10，广告主B愿意对“SUV”关键词出价￥8。考虑到A、B两个广告主都是理性人，且赢得广告曝光的成本是已知的情况下（因为按出价竞争，且扣费按照广告主的真实出价），都要尽可能地节约广告成本。

那么A和B都会尽可能地从较低的出价先试探（而不是根据广告带来的收益真实地出价），比如B出￥1，A为了赢得竞价会出￥1.1，那么B为了赢得出价就会出￥1.2，循环往复，A和B为了赢得广告竞价会先经历一个价格逐渐攀升的过程，到A出￥8.1的时候，B发现不能再PK了否则要赔本了，就会停止竞价，A到这个阶段则会逐步试探把出价往下压，到了￥8这个节点又会出现A、B两家相互试探的过程，这会造成广告系统极大的开销与震荡。

还要考虑到每个行业愿意忍受的成本不一样。有些暴利行业愿意出更高的价格去赢得广告曝光，即使后续转化低也不要紧，只要赢得一单就赚钱。出价高者赢得广告，会导致某个行业霸占广告资源位。

结论是，按照出价高者赢且按最高价扣费的劣势是：

1. 暴利行业垄断广告资源，忽略消费者体验；
2. 广告主已知交易成本，会造成系统高度震荡，且广告主会追求不断降低报价，对媒体收益造成损失。

我们在电视剧中常见的古董拍卖通常形式是：所有买方在同一个交易场中出价、价高者赢，甲的出价乙能知道，乙能根据自己对古董的报价、甲的报价决定自己的策略。

从博弈论的角度看，这个时候真实出价并不是一个最优策略。假设甲对古董的真实价值为V，如果他最终出价为P，那么他的收益为B=V-P。如果P小于最终拍卖最高价，那么不会赢得拍卖则收益为0；如果P大于V，那么B小于0，同样不是最优解。

最优出价应该是略微其他人的出价但小于真实价值，即使B最大，同时还得保证能赢。类似的，这种机制下广告主的真实出价不是最佳策略。

第3个问题：如何鼓励广告主真实报价？

VCG被认为是一个很好的鼓励真实出价的机制。

简单来说，VCG认为每个广告主应该支付的广告费用，等于它自己给其他所有广告主造成的损失。

按照社会效用最大看，最优策略是甲乙丙3个广告主分别得到A1、A2、A3广告位，因为3个广告主产生的收益是最大的。

VCG机制如下：

1. 甲、乙、丙3个广告主对A1广告位出价；
2. 假设甲不出现，那么乙得到A1，丙得到A2，那么相对于甲参与竞价的情况，乙的收益增加了2*10-2*5=10，丙的收益增加了5*1-2*1=3，整体收益为13，这也是甲的出现导致的乙和丙损失，那么甲应该为A1支付13。

同理，假如甲和丙参与竞拍，乙不参与竞拍，对于甲无所谓依然拿到A1广告位，但是对于丙来说，收益提高了5*1-1*2,=3，那么乙应该为A2支付3。

VCG是整个社会效用最大化的机制。网上有很多材料能够证明最佳出价策略是真实出价，这里证明起来有点烦（我功力不够，还没能简化证明）。

但是看起来美好，工程实现上非常困难，因为一个广告点击扣费，需要检索参与此次广告竞价但是没有赢得广告曝光的所有广告主损失。现在Facebook虽然采用了VCG机制，但是只计算广告排名之后2名的损失来得到第1名应该支付的钱。

第4个问题：Google采用的GSP机制又是啥？

GSP全称Generalized Second Price，广义次高价机制，第1名的实际点击扣费按照第2名的出价来。首先第1个广告位给出价最高的广告主，第2个广告主赢得第2个广告位，但是需要支付的点击价格分别是第2名和第3名的出价。GSP机制是VCG机制在只有1个广告位的情况的特殊形式。

GSP机制下，广告主按照真实价值出价不一定是最优策略。

考虑这样一种情形：

甲如果出3，那么赢得A1广告位，那么收入是3*10=30，支付的费用为10*2=20，回报是30-20=10；如果出2，赢得A2广告位，收入是3*6=18，支付的费用是6*1=6，回报是18-6=12，那么显然第二种出价对于甲而言才是最优策略。也就是说，第一种出价策略并不是纳什均衡，可以预见的是甲肯定不会按照第一种策略执行。

第5个问题：对于媒体来说，VCG和GSP机制哪种最赚钱？

考虑有A1、A2两个广告位的情况，但是有3个广告主PK，第一组按照真实价值（3,2,1）出价，第二组按照（2,1,0.5）出价，要注意的是，这两组出价都能达到均衡，那么按照GSP机制，媒体分别的收益为：

1. 10*2+5*2=30；
2. 10*1+5*0.5=12.5；

按照VCG机制，则甲要为A1支付费用10+3=13，乙要为A2支付3，媒体整体收入为16。

GSP机制下媒体收益可能高于VCG，也可能低于VCG，看出价达到什么均衡。

第6个问题：加入广告质量的因素，会有啥不一样？

以上的分析，都是基于广告位置决定点击率的假设的，也就是说点击率只跟广告位置有关。但是真实的广告并非如此。如果只考虑出价高者赢得曝光，不考虑点击率，导致的结果是不相关的广告填充了广告位，但是却并不产生任何价值，对于媒体而言是流量的极大浪费，也会造成用户体验差，因为信息与自己不相关。

长久来看，广告主A和B发现导流过来的人群质量比较差、后续留存、转化都不高，那么也会影响A和B对于媒体的估价，可能A只愿意出￥8，B只愿意出￥4了，势必会影响媒体的长久收入。

最早Yahoo就因为采用仅基于出价的GSP机制而损失了很多钱。Google最早发展了广告质量的概念。

我们笼统地把预估点击率、广告与落地页的相关性、落地页的体验（如加载速度）称为广告质量度Q，广告主出价为P，那么赢得广告曝光的排序依据为P*Q，得分高者赢得广告曝光。

那么这个时候广告主的花费呢？实际上，我们都知道这个时候的花费=（P2*Q2）/Q1，即第二名的P*Q值除以第一名的广告质量度。

为什么不直接按Q2来计算第一名的广告消耗？我们先假设这么一种场景：直接按照次高价扣费，那么这个时候广告主的最优策略是无限提高广告出价，这样能强制性地把P*Q值拉到最大，但是由于采用次高价扣费，因此并不用担心会提升广告成本。换句话说，只要广告主愿意出高价，不管广告质量怎么样，都能展现在消费者面前；但是同样的，由于忽视了广告质量，不一定会有多少点击，对于媒体而言也是得不偿失。

所以我把 P2*Q2/Q1称为惩罚定价。该公式可以写成P2*(Q2/Q1)，如果Q2>Q1，也就是第二名的广告质量好于第一名，那么P2*（Q2/Q1）>P2，换句话说，如果第一名的广告质量比较差，那么它要付出比第二名出价更多的成本才能维持住现有的位置；同理，如果第一名的质量度高于第二名，那么只需花费比第二名更少的成本就可以维持现有的位置。

以上是竞价背后的一些机制，转化成广告竞价系统的术语，背后原理有两层：

1. 某次广告曝光主要是比较eCPM（expected CPM），eCPM高者赢得展示广告的机会，eCPM=pCTR（predict CTR）*CPC（广告主的出价）。
2. pCTR代表预估的CTR，即通过算法对于该用户在该广告位点击某个广告的概率进行预估，然后乘上广告主的出价（广告创建时就已经确定，是已知的变量）即可得到eCPM。因此，仅仅提高出价是没有用的，广告主还必须优化pCTR。pCTR的预估机制，对于广告主是一个黑箱，只知道跟广告与用户之间的匹配度（定向）、素材质量、落地页质量等有关。

百度云与阿里云都提供pCTR训练/预测的API。据称百度使用了一亿多个特征训练pCTR；阿里云官网上列举了pCTR训练所需要使用的特征。

但是真实的特征与模型参数必须是黑箱，否则广告主知道了特征与参数之后，就可以针对性地调整，使pCTR最大，在保证eCPM足够高赢得广告的前提下，就可以降低出价，最终导致的结果是降低整体广告主的出价，使媒体收入变少。

总结来看，一个卖方（媒体）、买方（广告主）信息越是透明，媒体越是难以获得收益最大化，且会早成高度的系统震荡。

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